Часть вторая.
Что ни толкуй Вольтер или Декарт —
Мир для меня — колода карт,
Жизнь — банк: рок мечет, я играю,
И правила я к людям применяю…
М.Ю. Лермонтов
- Кости (И)мира
Животные могут играть, следовательно,
они суть нечто большее, нежели механизмы.
Есть миф что мир и его основа, твердь — это кости великана Имира. Схожие мифы встречаются не только у древних скандинавов. В случае игр — такими костями являются два кубика шестигранных. На заре культуры, да и часто до сих пор они изготавливались из кости, отсюда и название. О них и поговорим.
Что-то нас привлекает в игре в кости. Может быть, это волнение от броска или приятный звук, который они издают, когда падают на стол. Или, может быть, это потому, что на протяжении веков игральные кости были символами удачи, судьбы и случая. Но что они представляют на самом деле? Какой более глубокий смысл кроется за этими маленькими прямоугольными предметами, которые мы бросаем с опрометчивой энергией?
На самом базовом уровне игральные кости символизируют непредсказуемую природу жизни. Когда мы бросаем пару игральных костей, мы не можем знать, каким будет результат. Возможно, нам повезет, и выпадет выигрышная комбинация, или мы проиграем, и нам придется попробовать еще раз. В любом случае, нам напоминают о том, что существуют силы, неподвластные нашему контролю, которые формируют нашу жизнь. В мире, где так много неопределенности, кости напоминают нам, что иногда лучшее, что мы можем сделать, — это рискнуть и посмотреть, что произойдет.
Кости это видимое явление Удачи, богини всех рыжих ирландцев, Фортуны, Лак.
Но кости также представляют кое-что еще: наше стремление к контролю в непредсказуемой ситуации. Мир. Когда мы бросаем кости, мы не просто оставляем свою судьбу на волю случая. Мы проверяем наши навыки, нашу стратегию и нашу способность влиять на результат. Мы пытаемся перехитрить шансы и выйти на первое место. Таким образом, игральные кости представляют нашу потребность чувствовать себя сильными и контролирующими, даже когда мир вокруг нас совсем не такой.
Игральные кости использовались для различных целей на протяжении всей истории, включая инструмент для гадания и средство развлечения. В качестве символа игральные кости могут обозначать множество вещей, в том числе шанс, удачу, азартные игры и риск. История символики игральных костей восходит к древним цивилизациям.
Древние греки считали, что игральные кости были изобретены богами, и поэтому бросание игральных костей было способом общения с ними. Римляне использовали игральные кости для азартных игр и часто изображали игральные кости в своих произведениях искусства, чтобы символизировать удачу и шанс. Китайцы использовали игральные кости для гадания, когда считалось, что определенные числа имеют благоприятное значение.
Один из самых известных и устойчивых примеров символики игральных костей — игра в кости. В этой популярной игре в кости игроки делают ставки на результат броска, что еще больше подчеркивает связь между игральными
костями и принятием риска.
Со временем символика игральных костей продолжала развиваться. В наше время игральные кости стали представлять больше, чем просто случайность и удачу. Они также стали символом бунтарства и индивидуальности, популяризированным панк-движением 1970-х годов.
Число на кости Символическое значение
1. Единство, единичность, начало
2. Двойственность, баланс, противоположности
3. Триединство, Святая Троица, разум-тело-дух
4. Четыре элемента, стабильность, структура
5. Пять чувств, человеческое тело, хаос
6 Совершенство, завершенность, гармония
Смысл каждого числа на игральной кости также может варьироваться в
зависимости от культурных убеждений и личных интерпретаций. Некоторые
люди могут даже использовать игральные кости как инструмент для самоанализа и самоанализа, приписывая каждому числу личное значение.
В различных религиях игральные кости использовались для гадания, принятия решений и азартных игр.
Число 2
Число 2 имеет большое значение во многих религиях и системах верований.
В индуизме он представляет собой двойственность и баланс между противоборствующими силами. В христианстве он представляет собой союз между Богом и его творением. В китайской философии число 2 связано с Инь и Ян, двумя взаимодополняющими аспектами вселенной.
Согласно древнегреческой мифологии, бог Зевс и его братья использовали две игральные кости, чтобы определить свою долю во вселенной.
В Древнем Египте две кости использовались в игре Сенет, популярной настольной игре, связанной с загробной жизнью. В буддизме, две кости используются в практике гадания, чтобы получить представление о будущем.
Кроме того, кости использовались в различных ритуалах и церемониях в
разных религиях. Например, индейские племена использовали кости в своих
азартных играх и как форму гадания. В Вуду и других религиях африканской
диаспоры игральные кости используются для общения с духами и получения
информации о будущем.
Значение 2 кости в религиозных культурах:
Индуизм: Двойственность и баланс. Шива и Шакти
Христианство: Союз и гармония
Китайская философия: Инь и Ян
В целом, Значение числа 2 в костях варьируется в зависимости от рассматриваемой религии или системы убеждений. Однако ясно, что кости
играли важную роль в религиозных практиках и верованиях на протяжении
всей истории.
На протяжении столетий игральные кости использовались как символ удачи и случая в разных культурах по всему миру. Простая форма игральных костей и непредсказуемый результат их броска сделали их привлекательными как для игроков, так и для искателей удачи. Но помимо практического использования в играх, кости также приобрели символическое значение во многих различных контекстах.
Число 3
Один из наиболее важных аспектов символизма игральных костей является значение чисел на гранях игральных костей. Во многих культурах число 3 имеет особое значение. Например, в христианстве число 3 представляет Святую Троицу — Отца, Сына и Святого Духа. В Древней Греции число 3 представляло три Судьбы — Клото, Лахесис и Атропос, которые контролировали судьбу каждого человека.
Несмотря на то, что игральные кости — обычное дело в казино и игровых залах, многие до сих пор верят в суеверия, связанные с игрой в кости. Некоторые считают, что одни числа более удачливы, чем другие, в то время
как другие считают, что определенные ритуалы или жесты могут повлиять на
бросок костей.
Одно из популярных суеверий — дуть на кости перед их броском в надежде,
что это принесет удачу. Другие считают, что лучше не трогать и не брать
в руки кости других игроков, так как это может привести к неудаче.
Хотя кости часто ассоциируются с удачей, важно помнить, что результат
броска костей в конечном итоге определяется физикой. Как отмечает эксперт по играм в кости Майкл Шеклфорд, «вера в то, что на следующий бросок костей каким-то образом влияют предыдущие броски, известна как заблуждение игрока и является опасным заблуждением».
Количество бросков
Теоретическая вероятность выпадения 6
Фактическая вероятность выпадения 6
10
16,67%
20%
100
16,67%
17%
1000
16,67%
17%
Как видно из этой таблицы, вероятность выпадения 6 при правильном
шестигранном кубике всегда составляет 16,67%, независимо от того,
сколько раз кубик был брошен до этого. Каждый бросок костей является
независимым событием, и предыдущие броски не влияют на результат будущих бросков.
Использование игральных костей в качестве символа в искусстве и литературе является распространенным мотивом. Случайность и неопределенность броска костей могут наполнить произведения чувством судьбы, случайности и риска. В этом контексте кости могут представлять
такие понятия, как удача, азартные игры и непредсказуемость жизни. Здесь
мы углубимся в число 4, которое часто ассоциируется с использованием игральных костей в художественных выражениях.
В литературе игральные кости часто используются как метафора неопределенности жизни. Число 4, в частности, использовалось для передачи чувства баланса или гармонии перед лицом хаоса или беспорядка. Число 4 указывает на четыре элемента — землю, воздух, воду и огонь — и непредсказуемые силы, которые они представляют. В искусстве игральные кости появлялись в различных формах и средствах. Голландский художник Питер Брейгель включил пару игральных костей в свою картину «Триумф смерти» в 16 веке. Пронумерованные игральные кости видны сверху часов, символизируя, что время для человеческих фигур, изображенных на картине, истекает. Число 4 также имеет большое значение в этой работе, так как четыре человека изображены собравшимися в углу, столкнувшимися со своей неизбежной судьбой.
Точно так же число 4 изображено в скульптуре современного художника Ричарда Аршвагера «Дом игральных костей», созданный в 1976 году. Скульптура состоит из четырех больших игральных костей, каждая из которых весит 1500 фунтов и имеет длину шесть футов. Намерение Artschwager состояло в том, чтобы создать работу, которая вызывает волнение и шанс азартных игр, а также обращает внимание на роль случая в нашей повседневной жизни.
Значение 4
Во многих культурах число 4 считается могущественным и символическим
числом. В китайской культуре, например, число 4 звучит как слово «смерть» и поэтому считается несчастливым. Однако в других культурах число 4 считается счастливым и связано с такими понятиями, как стабильность, равновесие и гармония. В игральных костях число 4 отражает это ощущение баланса: у куба четыре равные стороны, каждая из которых содержит одну, две, три или четыре точки.
Число на кубиках
Количество возможных исходов
Вероятность выпадения в процентах
4
3
7,41%
Статистически число 4 выпадает при броске стандартного шестигранного
кубика с вероятностью 7,41%. Его относительная редкость по сравнению с
другими числами может способствовать его ассоциации с непредсказуемостью
и неопределенностью жизни. Кроме того, важность числа 4 в видео-христианской традиции как числа завершения или целостности может также влиять на его значение в произведениях искусства и литературы, в которыхигральные кости используются как символ.
Игральные кости как символ удачи и судьбы использовались в азартных
играх и азартных играх на протяжении веков. Будь то бросок костей в игре в кости или вращение колеса рулетки, исход этих игр во многом определяется случайностью. Кости служат визуальным представлением вероятности и удачи, а число на кубиках может иметь разные значения в зависимости от игры, в которую играют.
Число 5.
Во многих играх число 5 на кубике считается счастливым. Некоторые считают, что нечетное количество точек (например, на кубике) означает удачу, так как их нельзя разделить одинаково. Число 5 играет важную роль в игре в крэпс, где оно известно, как «число очков».
Когда игрок выбрасывает 5 в качестве своего «количества очков» в крэпсе,
у них больше шансов на победу в игре. Это связано с тем, что существует
восемь возможных комбинаций бросков кубиков, которые могут составить до
5 (1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 5+0, 0+5, 2+2+1, 1+). 1+3), по сравнению только с одной возможной комбинацией для «числа очков» 2 или 12.
В других играх число 5 на кубике может иметь другое значение. Например,
в игре Yahtzee бросок пяти одинаковых костей (пять кубиков с одинаковым числом) приносит игроку максимально возможное количество очков. В подземельях & Драконы, выбрасывающие 5 на шестигранном кубике, могут указывать на умеренный успех в действии, таком как атака или проверка навыка.
В целом, число 5 на кубике может символизировать удачу и вероятность в
азартных играх и играх. От игры в кости до Yahtzee число 5 имеет разное значение в разных играх, но часто представляет собой благоприятный исход для игрока.
В мире математики игральные кости считаются ценным инструментом для
проведения экспериментов. Они используются для понимания многих различных проблем, таких как теория вероятностей и статистический анализ. При изучении роли игральных костей в математике особенно важно число 6.
Число 6 является ключевым элементом при анализе результатов броска одной
шестигранной кости. Это связано с тем, что при броске одного игрального
кубика существует шесть возможных исходов, каждый из которых соответствует одному из чисел от 1 до 6.
Число 1 выпадает с вероятностью 1/6
Число 2 имеет вероятность 1/6 появления
Число 3 имеет вероятность 1/6 появления
Число 4 имеет вероятность 1 /6 появления
Число 5 имеет вероятность 1/6 появления
Число 6 имеет вероятность 1/6 появления
Эти вероятности остаются неизменными независимо от того, сколько раз
бросали игральную кость. Однако по мере увеличения количества бросков
вероятность того, что результаты будут соответствовать ожидаемым соотношениям, возрастает. Это известно, как закон больших чисел, который является фундаментальной концепцией теории вероятностей.
В науке игральные кости используются в различных экспериментах. В
частности, они полезны для демонстрации концепции рандомизации. Наука,
стоящая за игральными костями, уходит своими корнями в теорию вероятностей, которая является разделом математики. Таким образом, число 6 продолжает оставаться ключевым фактором при использовании игральных костей в научных экспериментах.
В целом игральные кости являются основным инструментом как в математике, так и в естественных науках. Для тех, кто любит изучать вероятность и статистику, игральные кости являются идеальным инструментом для проведения экспериментов и расширения своих знаний в этой области. А для тех, кто интересуется наукой, лежащей в основе рандомизации, игральные кости предоставляют ценный инструмент для проведения экспериментов и демонстрации ключевых концепций другим. Независимо от того, в какой области вы работаете, понимание фундаментальной роли игральных костей может быть ценным подспорьем в вашей работе и ваших интеллектуальных усилиях.
Кости были частью истории человечества с древних времен, и как таковые,
они играли роль в фольклоре и суеверие во всем мире.
Число 7
Согласно Пифагору, 7 — совершенное число, символизирующее полноту.
В христианстве 7 — это число Святого Духа, которое несколько раз встречается в Книге Откровения.
Во многих африканских, азиатских и индейских культурах 7 является священным числом и представляет связь между землей и небом.
Когда дело доходит до игры в кости, многие игроки считают число 7 счастливым. На самом деле, в игре в кости число 7 настолько важно, что у него есть свое специальное название — «Большой красный». Выпадение 7 считается признаком удачи и победы, а выпадение 2, 3 или 12 (известное как «дерьмо») считается неудачей.
Однако суеверия вокруг числа 7 в игры в кости не ограничиваются удачей.
Некоторые считают, что выпадение 7 является признаком надвигающейся гибели. Например, в игре в нарды выпадение 7 на первом ходу считается плохим предзнаменованием, которое принесет неудачу на протяжении всей игры.
Символизм 7 в Культуре
Египет: Связан с богом солнца Ра
Майя: 7 представляет семь подземных миров
Китай: Седьмой день китайского Нового года известен как «Рэнри», или «день рождения обычного человека».
Считаете ли вы число 7 счастливым, несчастливым или символом чего-то
более глубокого, нельзя отрицать что это число имеет большое культурное
значение в фольклоре и суевериях.
Значение числа 8
У древних китайцев игральные кости традиционно делали в форме куба, сумма противоположных граней которого равнялась 7. Число 8 китайцы считали счастливым, поэтому ассоциировали его с игральной костью, как сумму 7 и 1. Кости, сделанные с использованием этого дизайна, часто использовались для азартных игр, особенно в таких играх, как Сик Бо.
Точно так же древние египтяне считали, что число 8 символизирует бесконечность и вечную жизнь. Они также связывали число с идеей баланса, поскольку число 8 симметрично как по горизонтали, так и по вертикали. На игральных костях, сделанных в Древнем Египте, часто были символы и иероглифы, связанные с концепцией баланса.
Древнегреческая и римская культуры также использовали кости для азартных игр и других игр. Греки и римляне считали число 8 благоприятным, поскольку оно представляло восемь планет в их солнечной системе. Эта связь между числом 8 и Солнечной системой сохранилась и по сей день во многих странах, включая Японию, где символ Кандзи, обозначающий число 8, напоминает планету Сатурн.
Помимо их использования в азартных играх, традиционные игральные кости
также были символическими в религиозном контексте в некоторых частях
Азии. В тибетском буддизме, например, гадальные кости используются во
время определенных ритуалов и церемоний, чтобы помочь определить наилучший план действий. Эти игральные кости обычно делаются из кости или дерева и имеют различные символы и числа, которые интерпретирует прорицатель.
Самый старый известный набор игральных костей был обнаружен в гробнице
на территории современного Ирана, и считается, что ему более 5000 лет.
Эти игральные кости, сделанные из кости, имеют числа, расположенные в
уникальном порядке. Значение этого узора до конца не изучено, но предполагается, что кости могли использоваться в ритуальных целях, а не в азартных играх.
Культурное значение числа 8
Китай: Счастливое число, связанное с игральными костями, особенно с теми,
которые используются в азартных играх
Египет: Символизирует баланс и вечную жизнь
Греция/Рим: Благоприятное число, связанное с солнечной системой и планетами
В целом значение игральных костей в древних культурах дает ценную
информацию о различных способах использования и понимания этого общего предмета на протяжении всей истории.
Кости — один из древнейших игровых инструментов, и во многих культурах
они имеют глубокий символический смысл. Для одних они олицетворяют удачу и случайность, а для других означают цикличность жизни. Однако большинство игроков согласны с тем, что, хотя кости могут быть непредсказуемыми, существуют стратегии, которые можно использовать для увеличения вероятности выпадения определенных чисел. В этой статье мы рассмотрим, что символизирует число 9 в играх с костями, и посоветуем, как чаще его бросать.
Символизм числа 9
В нумерологии и различных культурах число 9 представляет завершенность,
просветление и высший уровень достижений. Во многих играх с костями
выпадение 9 может означать критический момент в игре, принося игрокам дополнительные очки или даже победу.
Один из способов повысить вероятность выпадения 9 — использовать пару игральных костей, на которых выпало 7 очков. В сочетании с двумя кубиками всего получается 9.
Другая стратегия заключается в том, чтобы сосредоточиться на управлении вероятностью появления двух конкретных чисел на двух кубиках. Например, поставив перед собой цель выбросить 4 и 5, вы получите в общей сложности 9 и исключите вероятность выпадения других комбинаций.
Игроки также могут использовать принцип статистической вероятности, чтобы увеличить свои шансы. выпадения 9. Анализируя частоту выпадения каждой комбинации кубиков и вероятность того, что в общей сложности выпадет 9, игроки могут сделать стратегический выбор, чтобы увеличить свои шансы на успех.
Хотя не существует гарантированного способа выпадения 9, вот несколько
советов, которые могут увеличить шансы на получение этого числа:
Визуализируйте, как мысленно выпадает 9, прежде чем бросать кости.
Было показано, что этот метод, известный как визуализация, повышает уровень концентрации и мотивации игроков, что может улучшить их результаты за столом.
Регулярно бросайте кости. Чем больше вы практикуетесь, тем комфортнее и увереннее вы будете обращаться с костями, что может привести к более успешным броскам.
Используйте последовательную технику броска. Многие опытные игроки используют определенную технику, например, бросают кости с определенной скоростью или под определенным углом, чтобы добиться желаемого результата.
Хотя число 9 может иметь глубокое и важное значение во многих культурах,
в контексте игр в кости оно представляет собой стратегическую точку,
которая может привести к успеху. Эти стратегии и советы могут помочь
игрокам увеличить свои шансы на выпадение 9, но важно помнить, что кости
непредсказуемы, и успех в конечном итоге зависит от сочетания удачи и
мастерства.
Понимание символизма и стратегий, связанных с игры в кости, игроки могут
повысить свои шансы на успех и получить больше удовольствия от игры.
Как энтузиаст игр, я нередко проявляют интерес к сбору игральных костей.
Кости можно собирать по разным причинам, от сентиментальной ценности до
желания получить уникальные предметы. Однако у игральных костей есть более глубокое значение, выходящее за рамки их использования в играх.
Каждый кубик имеет разные числа, написанные на его гранях, и числа имеют
значение, причем число 10 особенно символично. В нумерологии число 10 —
мощное число, которое символизирует завершенность и совершенство. Это
символ конца цикла и начала нового, отражающий цикличность жизни. В этом смысле число 10 на игральной кости представляет собой конечный результат, максимально возможный бросок или просто конец игры.
Некоторые любители игральных костей собирают игральные кости, сделанные из уникальных материалов, таких как металл, кость и драгоценные камни. Эти игральные кости могут не подходить для игры, но они прекрасно дополняют коллекцию и имеют сентиментальную ценность.
Другие коллекционеры сосредотачиваются на приобретении полных наборов игральных костей, включая все различные формы и размеры, используемые в различных играх. Эти коллекции также могут включать игральные кости, выпущенные ограниченным тиражом для определенных случаев или событий.
Игральные кости необычной формы, дизайна или темы также являются
популярными предметами коллекционирования. Они могут варьироваться от игральных костей в форме черепов до игральных костей с фантастическими символами и замысловатыми узорами.
Костная мука. Резюмэ
Игральные кости использовались на протяжении тысячелетий, самые ранние
из известных игральных костей были найдены в Месопотамии около 3000 г.
до н.э. Их использовали для игр, гаданий и даже как инструмент для определения наказания.
В Древнем Египте кости часто использовались в азартных играх и
ассоциировались с богиней судьбы. В китайской культуре игральные кости
символизируют удачу и часто используются в традиционных азартных играх,
таких как Сик Бо.
Каждая грань игральной кости представляет собой разное число, при этом
стандартный набор шестигранных игральных костей содержит числа от 1 до
6. Сами по себе числа не имеют какой-либо определенной символики, но они
представляют вероятность и шанс.
Кости всегда ассоциировались с азартными играми, которые часто включают
пари или азартные игры. Они представляют риск и неопределенность,
связанные с азартными играми, что делает их популярным символом для
казино, тотализаторов и других игорных заведений.
Бросание игральных костей олицетворяет непредсказуемость жизни. Точно
так же, как игра в кости может привести к неожиданным результатам, жизнь
полна непредсказуемых поворотов, которые мы не всегда можем контролировать.
Несколько кубиков часто используются для увеличения случайности и
непредсказуемости игры или ситуации. Они представляют собой более
высокий уровень шанса и риска, и их можно рассматривать как способ
бросить вызов и проверить свою удачу.
Загруженные или фальсифицированные игральные кости означают
мошенничество и обман. Их можно рассматривать как символ нечестности и
предупреждение против использования ярлыков или обходных путей.
- Теория игр на практике
Мы играем и знаем, что мы играем,
следовательно, мы сеть нечто большее,
нежели всего только разумные существа,
ибо игра (по убеждению большинства) — неразумна.
Можно привести многочисленные примеры конфликтных ситуаций из различных областей практики. Любая ситуация, возникающая в ходе военных действий, принадлежит к конфликтным ситуациям: каждая из борющихся сторон принимает все доступные ей меры для того, чтобы воспрепятствовать противнику достигнуть успеха. К конфликтным принадлежат и ситуации, возникающие при выборе системы вооружения, способов его боевого применения и вообще при планировании военных операций: каждое из решений в этой области должно приниматься в расчете на наименее выгодные для нас действия противника. Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии свободной конкуренции) принадлежит к конфликтным ситуациям; в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия и т. д.
Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр по существу представляет собой не что иное, как математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель теории— выработка рекомендаций по рациональному образу действий каждого из противников в ходе конфликтной ситуации.
Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и анализ ее затруднен наличием многочисленных привходящих факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, необходимо отвлечься от второстепенных, привходящих факторов и построить упрощенную, формализованную модель ситуации. Такую модель мы будем называть «игрой».
От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шахматы, шатки, карточные игры и т. д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающегося «победой» (выигрышем) того или иного игрока.
Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. Терминология, заимствованная из практики таких игр, применяется и при анализе других конфликтных ситуаций: стороны, участвующие в них, условно именуются «игроками», а результат столкновения — «выигрышем» одной из сторон.
В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников; в первом случае игра называется «парной», во втором — «множественной». Участники множественной игры могут в ее ходе образовывать коалиции — постоянные или временные. При наличии двух постоянных коалиций множественная игра обращается в парную. Наибольшее практическое значение имеют парные игры; здесь мы ограничимся рассмотрением только таких игр.
Начнем изложение элементарной теории игр с формулировки некоторых основных понятий. Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под «игрой» будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформулированы правила игры. Под «правилами игры» разумеется система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, последовательность чередования «ходов» (отдельных решений, принятых в процессе игры), а также результат или исход игры, к которому приводит данная совокупность ходов. Этот результат (выигрыш или проигрыш) не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, установив некоторую шкалу измерения, выразить его определенным числом. Например, в шахматной игре выигрышу можно условно приписать значение + 1, проигрышу — 1, ничьей 0.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает то, что проигрывает другой, т. с. сумма выигрышей обеих сторон равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны. Здесь мы будем рассматривать только такие игры.
Так как в игре с нулевой суммой выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого с противоположным знаком, то, очевидно, при анализе такой игры можно рассматривать выигрыш только одного из игроков. Пусть это будет, например, игрок А. В дальнейшем мы для удобства сторону А будем условно именовать «мы», а сторону В— «противник».
При этом сторона А («мы») будет всегда рассматриваться как «выигрывающая», а сторона В («противник») как «проигрывающая». Это формальное условие, очевидно, нс означает какого-либо реального преимущества для первого игрока; легко видеть, что оно заменяется противоположным, если знак выигрыша изменить на обратный.
Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или «ходов». Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Ходы делятся на личные и случайные.
Личным ходом называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление.
Пример личного хода — любой из ходов в шахматной игре. Выполняя очередной ход, игрок делает сознательный выбор одного из вариантов, возможных при данном расположении фигур на доске.
Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон.
Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, тасовка и сдача карт и т. п.). Например, сдача первой карты одному из игроков в преферанс есть случайный ход с 32 равновозможными вариантами.
Чтобы игра была математически определенной, правила игры должны для каждого случайного хода указывать распределение вероятностей возможных исходов.
Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр принадлежит к играм смешанного типа, т. е. содержит как случайные, так и личные ходы.
Игры классифицируются не только по характеру ходов (личные, случайные), но и по характеру, и по объему информации, доступной каждому игроку относительно действий другого. Особый класс игр составляют так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить шахматы, шашки, а также известная игра «крестики и нолики».
Большинство игр, имеющих практическое значение, не принадлежит к классу игр с полной информацией, так как неизвестность по поводу действий противника обычно является существенным элементом конфликтных ситуаций.
Одним из основных понятий теории игр является понятие «стратегии».
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих однозначно выбор при каждом личном ходе данного игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Понятие стратегии следует пояснить подробнее.
Обычно решение (выбор) при каждом личном ходе принимается игроком в ходе самой игры в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения принимаются игроком заранее. Для этого игрок должен был бы заблаговременно составить перечень всех возможных в ходе игры ситуаций и предусмотреть свое решение для каждой из них. В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию.
Игрок, выбравший стратегию, может теперь не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять какое-либо незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде определенной программы. Именно так в настоящее время играют в шахматы электронные счетные машины.
Чтобы понятие «стратегии» имело смысл, необходимо наличие в игре личных ходов; в играх, состоящих из одних случайных ходов, стратегии отсутствуют.
В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные».
Конечной называется игра, в которой у каждого игрока имеется только конечное число стратегий.
Оптимальной стратегией игрока в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник является по меньшей мере таким же разумным, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. В теории игр все рекомендации вырабатывают, исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются элементы риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждого из игроков. Теория игр, как к всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному-единственному числу. В большинстве практических конфликтных ситуаций при выработке разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько численных параметров — критериев успешности мероприятия. Стратегия, являющаяся оптимальной по одному критерию, необязательно будет оптимальной по другим. Однако, сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, получаемых игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки если не в точности «оптимальной», то, во всяком случае, «приемлемой» стратегии.
ним в своем столбце. В геометрии точку на поверхности, обладающую аналогичным свойством (одновременный минимум по одной координате и максимум по другой), называют седловой точкой; по аналогии этот термин применяется и в теории игр. Элемент матрицы, обладающий этим свойством, называется седловой точкой матрицы, а про игру говорят, что она имеет седловую точку.
Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий. Эти стратегии называются оптимальными, а их совокупность-решением игры. Решение игры обладает следующим замечательным свойством. Если один из игроков (например, А) придерживается своей оптимальной стратегии, а другой игрок (В) будет любым способом отклоняться от своей оптимальной стратегии, то для игрока, допустившего отклонение, это никогда не может оказаться выгодным; такое отклонение игрока В может в лучшем случае оставить выигрыш неизменным, а в худшем случае — увеличить его. Наоборот, если В придерживается своей оптимальной стратегии, а А отклоняется от своей, то это ни в коем случае не может быть выгодным для А. Это— утверждение легко проверить на примере рассматриваемой игры с седловой точкой. Мы видим, что в случае игры с седловой точкой минимаксные стратегии обладают своеобразной «устойчивостью»: если одна сторона придерживается своей минимаксной стратегии, то для другой может быть только невыгодным отклоняться от своей. Заметим, что в этом случае наличие у любого игрока сведений о том, что противник избрал свою оптимальную стратегию, не может изменить собственного поведения игрока: если он не хочет действовать против своих же интересов, он должен придерживаться своей оптимальной стратегии. Пара оптимальных стратегий в игре с седловой точкой является как бы «положением равновесия»: любое отклонение от оптимальной стратегии приводит отклоняющегося игрока к невыгодным последствиям, вынуждающим его вернуться в исходное положение. Итак, для каждой игры с седловой точкой существует решение, определяющее пару оптимальных стратегий обеих сторон, отличающуюся следующими свойствами.
1) Если обе стороны придерживаются своих оптимальных стратегий, то средний выигрыш равен чистой цене игры v, одновременно являющейся ее нижней и верхней ценой.
2) Если одна из сторон придерживается своей оптимальной стратегии, а другая отклоняется от своей, то от этого отклоняющаяся сторона может только потерять и ни в коем случае не может увеличить свой выигрыш. Класс игр, имеющих седловую точку, представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.
В теории игр доказывается, что, в частности, каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, и, следовательно, каждая такая игра имеет решение, т. е. существует пара оптимальных стратегий той и другой стороны, дающая средний выигрыш, равный цене игры. Если игра с полной информацией состоит только из личных ходов, то при применении каждой стороной своей оптимальной стратегии она должна всегда кончаться вполне определенным исходом, а именно, выигрышем, в точности равным цене игры. В качестве примера игры с полной информацией приведем известную игру с укладыванием монет на круглый стол. Два игрока поочередно кладут одинаковые монеты на круглый стол, выбирая каждый раз произвольное положение центра монеты; взаимное накрывание монет не допускается. Выигрывает тот из игроков, кто положит последнюю монету (когда места для других уже не останется). Очевидно, что исход этой игры всегда предрешен, и существует вполне определенная стратегия, обеспечивающая достоверный выигрыш тому из игроков, который кладет монету первым. А именно, он должен первый раз положить монету в центр стола, а далее на каждый ход противника отвечать симметричным ходом. При этом второй игрок может вести себя как угодно, не изменяя предрешенного результата игры. Поэтому данная игра имеет смысл только для игроков, не знающих оптимальной стратегии. Аналогично дело обстоит с шахматами и другими играми с полной информацией; любая из таких игр обладает седловой точкой и решением, указывающим каждому из игроков его оптимальную стратегию; решение шахматной игры не найдено только потому, что число комбинаций возможных ходов в шахматах слишком велико, чтобы можно было построить платежную матрицу и найти в ней седловую точку.
Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой; более типичным является случай, когда нижняя и верхи»» цена игры различны. Анализируя матрицы таких игр, мы пришли к заключению, что если каждому игроку предоставлен выбор одной-единственной стратегии, то в расчете на разумно действующего противника этот выбор должен определяться принципом минимакса. Придерживаясь своей максиминной стратегии, мы при любом поведении противника заведомо гарантируем себе выигрыш, равный нижней цене игры а. Возникает естественный вопрос: нельзя ли гарантировать себе средний выигрыш, больший а, если применять не одну-единственную «чистую» стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий? Такие комбинированные стратегии, состоящие в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот, в теории игр называются смешанными стратегиями. Очевидно, каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, в которой все стратегии, кроме одной, применяются с нулевыми частотами, а данная — с частотой 1. Оказывается, что, применяя не только чистые, но и смешанные стратегии, можно для каждой конечной игры получить решение, т. е. пару таких (в общем случае смешанных) стратегий, что при применении их обоими игроками выигрыш будет равен цене игры, а при любом одностороннем отклонении от оптимальной стратегии выигрыш может измениться только в сторону, невыгодную для отклоняющегося. Высказанное утверждение составляет содержание так называемой основной теоремы теории игр. Эта теорема была впервые доказана фон Нёйманом в 1928 г. Известные доказательства теоремы сравнительно сложны; поэтому приведем только ее формулировку. Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение (возможно, в области смешанных стратегий). Выигрыш, получаемый в результате решения, называется ценой игры. Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Очевидно, что цена игры v всегда лежит между нижней ценой игры А и верхней ценой игры Б.
Действительно, А есть максимальный гарантированный выигрыш, который мы можем себе обеспечить, применяя только свои чистые стратегии. Так как смешанные стратегии включают в себя в качестве частного случая и все чистые, то, допуская, кроме чистых, еще и смешанные стратегии, мы, во всяком случае, не ухудшаем своих возможностей.
Предположим, что нами найдено решение игры, состоящее из двух оптимальных смешанных стратегий. В общем случае не все чистые стратегии, доступные данному игроку, входят в его оптимальную смешанную стратегию, а только некоторые. Будем называть стратегии, входящие в оптимальную смешанную стратегию игрока, его «полезными» стратегиями.
Оказывается, что решение игры обладает еще одним замечательным свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v. независимо от того, что делает другой игрок, если он только не выходит за пределы своих «полезных» стратегий. Он, например, может пользоваться любой из своих «полезных» стратегий в чистом виде, а также может смешивать их в любых пропорциях.
Иногда эту задачу удается упростить, если предварительно уменьшить число стратегий путем вычеркивания некоторых излишних.
Излишние стратегии бывают: а) дублирующие и б) заведомо невыгодные.
Следовательно, оптимальная стратегия для каждого из игроков состоит в том, чтобы случайным образом чередовать обе свои чистые стратегии, пользуясь одинаково часто каждой из них; при этом средний выигрыш будет равен нулю.
Часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение игры; достаточно найти приближенное решение, дающее средний выигрыш, близкий к цене игры.
На каждом шаге итерационного процесса каждый игрок отвечает на любой ход другого игрока той своей стратегией, которая является оптимальной относительно всех его предыдущих ходов, рассматриваемых как некоторая смешанная стратегия, в которой чистые стратегии представлены в пропорциях, соответствующих частоте их применения. Такой способ представляет собой как бы модель реального практического «обучения» игроков, когда каждый из них на опыте прощупывает способ поведения противника и старается отвечать на него наивыгоднейшим для себя образом.
Бесконечной игрой называется игра, в которой по крайней мере одна из сторон имеет бесконечное множество стратегий. Общие методы решения таких игр еще мало разработаны. Однако для практики могут представлять интерес некоторые частные случаи, которые допускают сравнительно простое решение.
Одним из практических способов решения бесконечных игр является их приближенное сведение к конечным. При этом целый диапазон возможных стратегий каждого игрока условно объединяется в одну стратегию. Таким способом, разумеется, можно получить только приближенное решение игры, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.
Однако нужно иметь в виду, что при применении этого приема могут появиться решения в области смешанных стратегий даже в случаях, когда решение исходной бесконечной игры возможно в чистых стратегиях, т. е. когда бесконечная игра имеет седловую точку. Если путем сведения бесконечной игры к конечной получено смешанное решение, в которое входят только две соседние «полезные» стратегии, то имеет смысл попытаться применить промежуточную между ними чистую стратегию исходной бесконечной игры.
В заключение заметим, что бесконечные игры в отличие от конечных могут и не иметь решения.
