Архив Арагарты. ДСП (для служебного пользования). Теория цифр.

Архив Арагарты. ДСП (для служебного пользования). Теория цифр.

Приказ номер один

Сего числа волею богов и по приказу Королевского Канцлера герцога Адины принял пост главного архивариуса Королевского архива Арагарты.

Лэйд Гийор а Тинод назначен мною помощником архивариуса.

Подписано шестого хмуреня триста пятьдесят шестого года от воцарения Шосса Первого

— Э-э-э… — неуверенно сказал архивариус, читая свой первый приказ по слогам. — А надо писать «волею богов»? Я как-то не уверен, что кто-то из них приложил руку к моему назначению…

— Так принято, — сказал Гийор, который только что этот приказ сочинил.

— Точно? — все еще сомневался архивариус, разглядывая приказ — первую запись в купленной только сегодня у сьера Агари большой тетради.

— Точно, — заверил его Гийор. — Подписывай.

Архивариус достал свою новенькую самописку и расписался под приказом. Подпись у него была по-тански размашистая, но совершенно неразборчивая. Гийор даже не понял, каким из алфавитов архивариус воспользовался. Не арагартским, однозначно. И вроде не эльфийским.

День спустя возникла необходимость еще в одном приказе.

Приказ номер два

Приказываю отныне все внутренние документы архива оформлять так называемым архивным полууставом, в котором слова должны отделяться друг от друга пробелом, а не писаться одной слитной фразой. Окончание фразы отмечать точкой.

Подписано седьмого хмуреня триста пятьдесят шестого года от воцарения Шосса Первого (неразборчивая подпись).

— Это нечестно! — воскликнул Гийор, потирая слегка пострадавшую скулу.

— А нефиг драться, если не умеешь, — сказал архивариус, старательно выводя дату. — Чему вас только в ваших семинариях учат?

— Писать по правилам.

— Правила — это хорошо, — заметил архивариус. — Но конкретно это правило — неудобное. — Он расписался и задумчиво посмотрел на дату. — Слушай, а всю эту цифирь обязательно словами писать? Покороче можно как-нибудь?

— В принципе можно, но не солидно, — сказал Гийор. — Ну то есть цивилизованные люди слова не сокращают, разве что в личных заметках.

— Разве я цивилизованный? — Спросил архивариус. — Я же раб, мне не обязательно политесы соблюдать.

— Тогда можно писать так: Подписано VII хмуреня CCCLVI года от воцарения Шосса I*, — показал на черновике Гийор.

— Это как? — не понял архивариус, рассматривая запись.

— Цифр всего семь, удобно запомнить: M — тысяча, D — пятьсот, C — сто, L — пятьдесят, X — десять, V — пять, I — единица, — показал Гийор.

— Но это же неудобно! — возопил архивариус. — Вот к примеру, я потратил триста пятьдесят марок, потом шестьдесят восемь, потом сто семнадцать… как считать?

— Приличные люди столько денег не тратят, — поучительно сказал Гийор. — Только таны.

— Не отвлекайся.

— Очень просто считается: CCCLVI да LXVIII да CXVII. Группируем одинаковые цифры вместе: CCCCLLVVVIIIIII. Пять единичек — это пятерка, поэтому получается CCCCLLVVVVI. Две пятерки — это десять, поэтому получается CCCCLLXXI. Два по пятьдесят — это сотня, поэтому получается CCCCCXXI. Пять сотен — это пятьсот, поэтому записываем DXXI. Итого пятьсот двадцать одна марка.

— А если мне надо сложить не три, а сто три числа? — спросил архивариус. — Нет, неудобно. Если мне надо расходы подсчитать — мне что, целый день чистописанием заниматься?

— Для больших расчетов существует абак**, — объяснил Гийор. Он объяснил начальнику принцип счета на абаке и с удовольствием отметил, что у того округляются глаза.

— Нет, мне этого никогда не постичь, — сказал архивариус. — Эй, Этиллир! — крикнул он медитирующему на растущий дом эльфу: — А как у эльфов числа записывают? Тоже пятисотки-сотки, пятерки-единички?

— У нас есть специальные символы для всех девяти цифр, — эльф оторвался от своего занятия, встал и приблизился. Видно, пользовался возможностью размять косточки, а то засиделся.

— Э-э-э… девяти? — переспросил архивариус.

— Да, а что?

— Просто я всегда думал, что их десять, — сказал архивариус. — Но ты продолжай, а то я ведь ни хрена не знаю, а замечания делаю.

— 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9***, — написал эльф символы для цифр.

— Очень хорошо, — сказал архивариус. — Мне уже нравится. А как этими цифрами записать дату… вот тут у меня приказ… а?

В написании эльфа дата приобрела такой вид: Подписано 7 хмуреня 356 года от воцарения Шосса I.

— Шосса Первого лучше нумеровать по-арагартски, — сказал Этиллир. — По-эльфийски нумеровать разумное существо неприлично. Но у людей свои понятия о приличиях.

— Ладно, сколько там тех Шоссов было, их ненапряжно и так нумеровать, — малопочтительно заявил архивариус. — А вот расчеты производить мне по-эльфийски больше нравится. Только вот… Вопросик у меня такой: а как вы запишете число семьсот два? Или семьсот двадцать?

— Очень просто, — объяснил эльф. — Когда в разряде единиц, десятков или сотен, или тысяч ничего нет, и из за этого можно прочитать число неправильно, на место отсутствующего разряда вставляется буква е, или д, или с, или т… В таком случае число семьсот два будет писаться 7д2, а семьсот двадцать 72е.

— А если мне понадобится написать число миллион один? — спросил архивариус.

— Проще написать словами, — улыбнулся эльф.

— Вот это мне не нравится, — объявил архивариус. — пока я начальник в этом архиве, я буду писать так: 702, 720 и 1000001.

— Он обожает упорядочивать пробелы, — объяснил Гийор эльфу. Эльф внимательно разглядывал новый вариант записи.

— Это не пробел, а цифра, — поправил архивариус.

— Да, — наконец сказал эльф. — Это удобно. Давно надо было ввести единый знак для пустующего разряда. И, конечно, это вовсе не цифра. Это символ для обозначения пустоты, а цифры — это символы для обозначения чисел. Пустота же не может быть числом.

— Чего это? — не понял архивариус. — Спокойно может. — Он подобрал с земли несколько камешков. — Сколько камней на моей ладони?

— Три.

Архивариус сбросил камни обратно. — А сейчас сколько камней на моей ладони?

— Ни одного, — сказал Гийор.

— Да, но каким числом обозначить это количество камней? — спросил архивариус и написал 0. — На моей ладони сейчас ноль камней.

— Логично, — сказал эльф.

Архивариус начертил прямую линию и поставил посередине точку, написав около нее ноль.

— Ноль, — вдохновенно сказал он — это начало отсчета. — и он начал откладывать от точки вправо одинаковые отрезки. — а вот это 1, 2, 3…

— Нелогично, — возразил эльф. — а вот этот хвост прямой зачем? — он показал на пространство слева от нуля.

— Туда тоже можно откладывать цифры, — сказал архивариус, ничуть не задумавшись. — Вот допустим, мне надо из трех отнять четыре. Сколько получится?

— Ничего, — сказал Гийор. — Ты можешь отнять только три, а дальше у тебя получается твой ноль, который ничего не означает. А из ничего нельзя что-нибудь вычесть, в нем ничего нет****.

— Фигня! — сказал архивариус. — Допустим, я должен тебе три марки. Но трех марок у меня нет, зато я дам тебе монету в пять марок. И что? Мы в расчете? Между нами ничего нет?

— Это другое дело! — сказал Гийор. — Это, получается, я буду должен тебе две марки.

— Да, но как это считается? — архивариус показал на ноль. — Вот: никто никому не должен. А вот я должен тебе три марки, — он отсчитал направо три отрезка. — а вот я отдаю тебе монету в пять марок, — он отсчитал влево пять делений, миновав при этом ноль. — Вот теперь ты должен мне две марки. И так можно считать не только деньги.

— А что еще можно так считать? — спросил эльф.

— Да что угодно, — сказал архивариус и тут же придумал что-то вроде притчи: — Жил-был на свете один человек. Он совершил один хороший поступок в детстве, — одно деление вправо, — три плохих в юности, — три деления влево, — и два хороших поступка в среднем возрасте, — два деления вправо. — Вопрос: какой это человек: хороший или плохой?

— Так себе, — сказал Гийор, разглядывая результат.

— Интересная философская концепция, — заметил эльф. — Добро и зло, две противоположности, и точка, где они соприкасаются…

Архивариус задумчиво посмотрел на свою же прямую.

— Вообще-то я не имел в виду ничего такого философского, — сказал он слегка растерянно. — Я вообще в философии ничего не понимаю…

— Это роскошная концепция, — заверил его эльф. Он задумался, а потом написал на листочке расписку: В качестве частичной оплаты за выращивание нового здания в замке Камэо от Главного королевского архивариуса принята новейшая философская и математическая концепция, по первоначальной оценке эквивалентная шести дням работы. Этиллир.

Архивариус удивленно прочитал расписку.

— Я-то в принципе не против, — сказал он. — Только вот концепция вроде как не моя.

— Не имеет значения, — отмахнулся эльф и удалился — вероятно, размышлять над концепцией.

— Странные люди эти эльфы, — пробормотал ему в спину архивариус.

— Ну ты скажешь! Эльфы — не люди, — поправил его Гийор.

— Я в расширительном смысле, — отмахнулся архивариус. Он посмотрел на журнал с приказом. — Думаю, приказ надо переписать. Мне тут в голову пришла мысль… и я ее думаю, — добавил он совсем задумчиво.

Гийор подождал, пока начальник додумает свою мысль, бездумно разглядывая осенний сад.

— А не скажешь ли ты, — спросил наконец архивариус, — сколько тут у нас валяется разных книг?

Для оценки количества книг Гийор привстал с места и оглядел сад, зачем-то зажмурив один глаз.

— Тысячи четыре, — вынес он вердикт. — Или пять.

— Или шесть, — в тон ему продолжил архивариус. — В общем, надо присваивать книгам инвентарные номера. Для учета. В принципе, надо и документы все перенумеровать, но этого мы с тобой просто не потянем. Слишком их здесь много, — он с отвращением посмотрел на ворох документов.

В результате приказ №2 выглядел так:

Приказ номер 2

Приказываю отныне все внутренние документы архива оформлять так называемым архивным полууставом, в котором слова должны отделяться друг от друга пробелом, а не писаться одной слитной фразой. Окончание фразы отмечать точкой.

Во внутренних документах архива должна употребляться так называемая архивная цифирь, за основу которой взята эльфийская цифирь с дополнением в виде пустой цифры. Использование арагартской цифири допустимо в тех случаях, когда требуется выделить какое-нибудь число особо, например, при указании порядкового номера при имени монархов.

Все имеющиеся в архиве книги должны быть учтены. Книга считается учтенной, если на нее заведена каталожная карточка, где указаны:

— Автор книги,

— Полное название книги,

— Переписчик книги и дата переписывания, если эти данные указаны,

— А также инвентарный номер, состоящий из пяти цифр. Номер записывается в левом верхнем углу каталожной карточки и дублируется на титульном листе книги и на семнадцатой странице.

Все прочие содержащиеся в архиве документы вплоть до особого распоряжения упорядочивать без учета.

Подписано 7 хмуреня 356 года от воцарения Шосса I (подпись неразборчива)

— — —

Комментарии к рассказу:

*Для удобства восприятия для передачи арагартских цифр использованы римские.

** Абак — счетная доска, применяемая для арифметических вычислений примерно так с третьего тысячелетия до нашей эры. Сначала камешки просто передвигали по нарезанным в доске канавкам или нарисованным линиям, а где-то в 5 веке нашей эры додумались нанизывать косточки на проволоки.

Гийор, скорее всего, объясняет архивариусу правила счета на абаке, аналогичном древнеримскому, конструктивно приспособленному под римские цифры. Вероятно, архивариусу было бы понятнее, если бы ему объясняли счет на наших русских счётах.

Да, русские счеты — это модернизированный вариант абака. Они появились в России на рубеже XV — XVI веков и активно применялись в торговле вплоть до последнего десятилетия XX века. От классического абака счеты отличаются увеличением разрядности каждого числового ряда и конструкцией. Ещё одна характерная особенность русских счёт — специально выделенный разряд для счёта в четвертях. После неудачного наполеоновского похода русские счёты попали во Францию, где под именем булье́ (boulier) получили распространение как очень полезное школьное пособие для обучения арифметике.

(В странах Востока распространены китайский аналог абака — суаньпань и японский — соробан. Конструкции принципиально аналогичны, используют десятичную систему счисления, хотя японский вариант несколько экономичнее (в китайском, как и в русских счётах, используются «лишние» с точки зрения математики косточки). Для китайского и японского абака существует скрупулёзно разработанный набор алгоритмов, позволяющих механически (то есть не занимаясь дополнительными вычислениями в уме или на бумаге) выполнять все четыре арифметических действия и даже извлекать квадратные и кубические корни.

Японский соробан по сей день активно применяется, несмотря на повсеместное распространение электронных калькуляторов. В Японии использование соробана является элементом школьной программы обучения счёту в младших классах. Также в Японии и странах, имеющих значительную японскую диаспору, счёт на соробане популярен как вид развлечения или своеобразный спорт. Из вики)

Заинтересовавшимся могу еще посоветовать НФ-рассказ Артура Кларка «С кометой». Содержание рассказа: на космическом корабле отказал компьютер. Вот кусочек из рассказа:

— Такие шутки, — сказал три дня спустя доктор Мартинс, — до меня не доходят.

И он презрительно посмотрел на самоделку из дерева и проволоки, которую держал в руке Пикетт.

— Я знал, что вы так скажете, — миролюбиво ответил журналист. — Но сперва послушайте меня. Моя бабушка была японка, и в детстве я слышал от нее историю, которую вспомнил только теперь, несколько дней назад. Кажется, это может нас спасти. После второй мировой войны устроили однажды соревнование — в быстроте счета состязались американец, вооруженный электрическим арифмометром, и японец с абаком вроде этого. Победил абак.

— Плохой был арифмометр или оператор никудышный.

— Нарочно отобрали лучшего во всех вооруженных силах США. Но не будем спорить. Проведем испытание, назовите два трехзначных числа для умножения.

— Ну… 856 на 437.

Пальцы Пикетта забегали по шарикам, молниеносно гоняя их по проволокам. Всего проволок было двенадцать, это позволяло производить действия над любыми числами от единицы до 999 999 999 999 или, разбив абак на секции, одновременно делать несколько вычислений.

— 374072, — ответил Пикетт почти мгновенно. — А теперь посмотрим, как вы управитесь с помощью карандаша и бумаги.

Прошло около минуты, наконец Мартинс, который, как и большинство математиков, был не в ладах с арифметикой, крикнул:

— 375072!

Проверка тотчас показала, что Мартинс ошибся, хотя умножал в три раза дольше, чем Пикетт.

Удивление, ревность, интерес смешались на лице астронома.

— Кто вас научил этому фокусу? — спросил он. — Я думал, на такой штуке можно только складывать и вычитать.

— А что такое умножение, если не многократное сложение? Я семь раз сложил 856 в ряду единиц, три раза — в ряду десятков, четыре раза — в ряду сотен. То же самое делаете вы на бумаге. Конечно, есть приемы для ускорения, но если вам показалось, что я считаю быстро, посмотрели бы вы на брата моей бабушки. Он служил в банке в Иокогаме. Как пойдет щелкать — пальцев не видно. Он меня кое— чему научил, да ведь с тех пор больше двадцати лет прошло. Я еще только два дня упражняюсь, пока считаю медленно. И все-таки надеюсь, что мне удалось хоть немного убедить вас.

— Еще бы! Я просто поражен. Вы и делить можете так же быстро?

— Почти, надо только руку набить.

Мартинс взял абак, погонял шарики взад-вперед. Потом вздохнул.

— Гениально. Но нас это не выручит, даже если бы на нем можно было считать вдесятеро быстрее, чем на бумаге. Машина в миллион раз эффективнее.

— Я подумал об этом, — ответил Пикетт, теряя самообладание. (Этот Мартинс рохля какой-то, нет у него воли к борьбе. Хоть бы задумался, как управлялись астрономы сто лет назад, когда не было никаких счетных машин!) — Вот что я предлагаю, — а вы скажите, если я ошибаюсь...

Он обстоятельно, не торопясь, изложил во всех подробностях свой план. Слушая его, Мартинс заметно воспрянул духом и даже рассмеялся; впервые за много дней Пикетт слышал смех на борту «Челенджера».

— Вижу лицо начальника экспедиции, — воскликнул астроном, — когда он услышит, что нам всем придется вернуться в детский сад и играть в шарики!

Ну и так далее, но не забываем, что рассказ был написан больше полувека назад.

*** Для удобства восприятия для передачи эльфийских цифр использованы так называемые арабские цифры, которые мало чем напоминают настоящие цифры настоящих арабов. Однако в IX веке нашей эры персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми аль-Маджуси, который работал в Багдаде, написал на арабском языке «Книгу об индийском счете», другое название «Книга о сложении и вычитании» — «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где и вводилось понятие более привычных современному человеку цифр от 0 до 9. Слово аль-джебр — знакомое нам слово алгебра, которое немного европеизировалось. Арабский текст книги позже был утерян, но к тому времени в Европе был уже перевод книги на латынь «Algoritmi de numero Indorum», сделанный в XII веке. Перевод книги начинается словами: «Dixit Аlgorizmi: …» («Аль-Хорезми говорил: …»), в общем, как-то получилось, что Алгоризми сплюсовалось со греческим словом arithmos (число), и получилось слово алгоритм, которое теперь применяется в математике и не только там. Аль-Хорезми, чтобы уж прояснить все до конца, означает «родом из Хорезма».

Таким образом арабские (иногда говорят индо-арабские) цифры в Европе стали известны в 12 веке, однако использовались в основном только математиками. Правда, широким народным массам тоже хотелось прогресса в технике вычислений, и новые цифры потихоньку приживались среди итальянского купечества. Несмотря на то, что приверженные традициям античности правители пытались сдержать распространение новомодной языческой цифири (например, во Флоренции в 1299 году был издан закон, запрещающий использование арабских цифр), к 16 веку почти вся Европа перешла на них. К петровским временам арабские цифры добрались и до России, потеснив, для разнообразия, не римскую, а кириллическую систему счисления.

Так вот, слово алгоритм первоначально использовалось для обозначения счета на бумаге (а не на абаке) более удобными для этого индо-арабскими (а не римскими) цифрами.

И несколько столетий, примерно до 18 столетия, в Европе шло соревнование между абацистами, предпочитающими пользоваться абаком, и алгоритмиками, которые предпочитали считать на бумажке. Абацисты совершенствовали свои благородные инструменты, но и алгоритмики не стояли на месте. А потом пришел научно-технический прогресс и все опошлил. Глянем на современный калькулятор: вроде и не абак, но ведь и не бумажка ж!

**** Как утверждают, понятие ноля придумали древние индийцы, и аль-Хорезми в своей книге ноль упоминал. Однако довольно долгое время ноль считался просто символом, предназначенным для удобства записывания чисел с пустыми разрядами — вроде упомянутого в рассказе числа 702. Что же касается отрицательных чисел, то, хоть древние китайцы и индийцы сравнительно свободно ими оперировали (там они трактовались как долги или недостача), европейцы считали это понятие абсурдным довольно долго. Даже Блез Паскаль, который жил в 17 веке, полагал, что 0 — 4 = 0, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто». Гийор, как мы видим, с Паскалем согласен. Не знаю, удалось ли архивариусу его переубедить.