Живописцы, окуните ваши кисти! (литературный коллаж решения одной математической задачи)

Мне отмщение, и аз воздам

Рим. 12:19

Так, например, чёрный цвет служит для выражения горя,

красный — величия и страдания,

фиолетовый — раскаяния и смирения,

зелёный — надежды.

М. К. Претте, А. Капалъдо. Творчество и выражение

Выйдя из детской и оставшись один, Левин тотчас же опять вспомнил ту мысль, в которой было что-то неясно — доказать, что из любой последовательности можно, стерев часть её членов, получить монотонную бесконечную последовательность, то есть невозрастающую или неубывающую.

Вместо того чтобы идти в гостиную, из которой слышны были голоса, он остановился на террасе и, облокотившись на перила, стал смотреть на небо.

К такого рода задачам, когда в ответе может быть либо то, либо другое, очень трудно сразу найти верный подход. Любое начало может привести не к тому случаю. Что же делать? А самое обидное, что по конечному случаю ничего не скажешь: надо смотреть на всю последовательность сразу. А как иметь дело с бесконечным числом объектов, пусть даже членов последовательности?

Уже совсем стемнело, и на юге, куда он смотрел, не было туч. Тучи стояли с противной стороны. Оттуда вспыхивала молния и слышался дальний гром. Левин прислушивался к равномерно падающим с лип в саду каплям и смотрел на знакомый ему треугольник звезд и на проходящий в середине его Млечный Путь с его разветвлением. При каждой вспышке молнии не только Млечный Путь, но и яркие звезды исчезали, но, как только потухала молния, опять, как будто брошенные какой-то меткой рукой, появлялись на тех же местах.

— Ну хорошо, допустим, я начну строить какую-то возрастающую последовательность. Откуда я узнаю, что за последним членом есть ещё что-то большее или хотя бы не меньшее? Вот если бы я знал это заранее, то… Интересно, а как я могу это знать заранее? Вполне могу — это очень простой вопрос: есть за данным членом последовательности кто-то больший или нет.

«А что, если, в самом деле, все такие члены как-то заранее выделить? Как только, покрасить, что ли? А почему бы и нет?» — сказал себе Левин, вперед чувствуя, что разрешение его сомнений, хотя он не знает еще его, уже готово в его душе.

«Итак, возьмём и покрасим все члены последовательности, за которыми есть члены, большие, чем они сами… Тогда… могут быть два случая: покрашенных бесконечно много или только конечное число. Какой случай проще (вообще-то хорошо, что их два — это даёт надежду на два разных вывода, что и требуется по условиям)? Пожалуй, хочется начать с конечного. Значит пусть только конечное число точек покрасилось. Сотрём их сразу, чтобы не мешали. Оставшиеся — непокрашенные. А что значит, что данный член последовательности не удалось закрасить? Это значит, что нет за ним члена, большего, чем он, то есть все, что дальше — меньше: чем дальше, тем меньше (там же тоже непокрашенные). И это прекрасно: получаем невозрастающую последовательность. Ещё раз. Берём первый член. За ним — не больше его. Берём второй. А если он покрашен? Нет, мы их уже выбросили. Значит, он тоже непокрашен, и за ним — меньшие. Да таким образом подряд наберём невозрастающую последовательность. Прекрасно! А теперь неплохо бы заняться вторым случаем, пожалуй, основным: покрашенных членов бесконечно много. Тогда естественно попробовать и взять их все в качестве возрастающей последовательности. Попробуем. Берём первый член. За ним должен быть больший его. Берём тот. За ним… Минуточку, а если тот непокрашен? Плохо. А если взять сразу покрашенное число, то, которое следующее. Тогда почему оно будет больше, чем первое? — задал он себе тот самый вопрос, который и казался ему опасным.

— М-да, запутались. Что же делать-то? Первый-то случай как хорошо прошёл. Такое впечатление, что надо было как раз незакрашенные и закрашивать. А что — и закрасим, скажем, в зелёный цвет, который цвет надежды. Чётко: закрасим в зелёный цвет все те точки, которые не больше, чем все последующие. Откуда-то взялись какие-то точки. Надо же, как трудно красить числа! Ну ладно, пусть называются точками. Хоть крокодилами, лишь бы задача решилась! — Он задумался, но тотчас же поправил себя.

— Что же мы имеем? — сказал он себе. — Если зелёных точек много, то доказывать мы умеем. Много — это сколько? Чтобы незелёных было только конечное число. А меньше нельзя? Смотрим на доказательство… Вполне можно. Если зелёных точек бесконечно много, то всё рассуждение проходит: они сами и образуют монотонную невозрастаюшую последовательность. Да, а почему такое неравноправие: надо бы тогда особым цветом, скажем, красным, покрасить и те точки, за которыми все члены строго большие. Тогда если будет бесконечное множество красных элементов последовательности, то тоже отлично: они дадут возрастающую последовательность.

А зачем нам всё же красные точки? — спросил он себя, глядя на изменившую уже свое положение к высшей ветке березы яркую планету. — Без них можно обойтись. Ну-ка, внимательно. Если зелёных бесконечно много, то всё в порядке, если — конечное число, то их надо бы стереть. Тогда все оставшиеся — незелёные, то есть то, что мы раньше называли покрашенными (запутаться можно)! Ещё несколько минут внимания. Сконцентрировались. Итак, все точки незелёные. За каждой есть большая. Вот так и будем их брать. Первую — любую. За ней есть большая. Она тоже незелёная. За ней тоже есть большая, и тоже незелёная. Вот так и построим!».

— А, ты не ушел? — сказал вдруг голос Кити, шедшей тем же путем в гостиную. — Что, ты ничем не расстроен? — сказала она, внимательно вглядываясь при свете звезд в его лицо.

Но она все-таки не рассмотрела бы его лица, если б опять молния, скрывшая звезды, не осветила его. При свете молнии она рассмотрела все его лицо и, увидав, что он спокоен и радостен, улыбнулась ему.

«Она понимает, — думал он, — она знает, о чем я думаю. Сказать ей или нет? Да, я скажу ей». Но в ту минуту, как он хотел начать говорить, она заговорила тоже.

— Вот что, Костя! Сделай одолжение, — сказала она, — поди в угловую и посмотри, как Сергею Ивановичу все устроили. Мне неловко. Поставили ли новый умывальник?

— Хорошо, я пойду непременно, — сказал Левин, вставая и целуя ее.

«Нет, не надо говорить, — подумал он, когда она прошла вперед его. — Это тайна, для меня одного нужная, важная и невыразимая словами…»

Конец

04.05.2016